Maths

L'Algèbre en Première

Rédigé par Ilyes B. le 06/08/2021

Le calcul actuel des suites est le fruit d’un long travail effectué durant l’histoire. Si aujourd’hui nous avons des méthodes efficaces et concises, c’est grâce à des savants comme Fibonacci, Kochi ou encore Al-Khwarizmi. En effet, avant la formalisation mathématiques des suites, les problèmes identifiés étaient principalement liés au comptage et à l’approximation de nombres réels. Ces derniers ont abouti au fil de l’histoire à la conceptualisation des suites. C’est ainsi que le calcul de termes de suites et la résolution des équations du second degré ont fini par modéliser ce concept. Nos experts vous expliquent en détail tout le contenu du chapitre.

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Sommaire

Le chapitre d’algèbre en Première aborde les suites essentiellement sous leur aspect algébrique. L’enseignement des mathématiques en Première a pour objectif de vous faire découvrir les différents modes de génération de suites.

Générer une suite, trouver le sens de variation et sa limite

Générer une suite

Le cours de maths de Première vous amène à découvrir le concept des suites et toutes ses propriétés.

Par définition, une suite est un ensemble d'éléments qui constituent une liste de nombres réels. Une suite est classée par des nombres entiers naturels n qu’on va associer à un nombre réel Un. Ce dernier (Un) est appelé indice n d’une suite (ou terme de rang n).

Il existe deux méthodes pour générer une suite, à savoir par une formule explicite, ou par une relation de récurrence. Pour cela vous allez devoir proposer et simuler une situation qui permet la génération d’une suite de nombre pour calculer ses termes.

  • La formule explicite est représentée par Un=f(n). Chaque indice de la suite est donné en fonction de n et séparément de des termes qui le précèdent. Par exemple : Pour tout n de ℕ, on donne : Un=4n. Les premiers termes de la suite seront :

    U0 = 4 x 0 = 0

    U1= 4 x 1 = 4

    U2 = 4 x 2 = 8

    U3 = 4 x 3 = 12

  • Contrairement à la formule explicite, pour générer une suite par une relation de récurrence, on obtient chaque terme à partir des termes précédents. Autrement dit, pour trouver un terme il faut absolument revenir en arrière. On peut prendre par exemple une suite définie par : U0=4 et chaque terme de la suite est le double de son précédent. Les premiers termes de la suite seront :

    U0 = 4,

    U1 = 2 x U0 = 2 x 4 = 8,

    U2 = 2 x U1 = 2 x 8 = 16.

    On peut également noter : Un+1 = 2Un

Déterminer le sens de variation

Pour trouver le sens de variation d’une suite, il vous faut définir dans un premier temps la suite, à savoir une suite numérique (Un) et un entier p. Deux cas de figure sont alors attendus :

La suite (Un) est croissante à partir du rang p = pour n ≥ p on obtient Un+1≥Un

La suite (Un) est décroissante à partir du rang p = pour n ≥ p on obtient Un+1≤Un

Par définitions on peut supposer les propriétés suivantes : une fonction f définie sur [0 ; +∞[, une suite (Un) définie sur N par Un = f(n) et un entier p.

  • Si f est décroissante sur [p ; +∞[, donc la suite(Un)est croissante à partir de l’indice p

  • Si f est décroissante sur [p ; +∞[, donc la suite (Un) est décroissante à partir de l’indice p

Comprendre la notion de limite d’une suite :

Les suites se distinguent par la nature de leur limite. Vous avez d’un côté les suites convergentes et de l’autre les suites divergentes.

  • Les suites convergentes supposent que plus n devient grand, plus les termes de la suite se rapprochent d’un réel ℓ. On peut dire que la suite (Un) converge vers ℓ et on note : lim Un = ℓ

  • Contrairement aux suites convergentes, une suite divergente offre deux possibilités de limite : vous avez soit une suite à limite infinie ou bien une suite qui n’a pas de limite. Concrètement une limite divergente veut dire que pour tout réel ℓ, la suite ne converge pas vers ce dernier.

Suites arithmétiques et géométriques

En cours de maths en Première, les suites géométriques et arithmétiques sont parmi les notions à absolument maîtriser avant la Terminale. Votre professeur va vous expliquer comment calculer le terme général et déterminer le sens de variation de ces suites. Vous allez ensuite apprendre à modéliser par une suite arithmétique un phénomène à croissance linéaire, et par une suite géométrique un phénomène à croissance exponentielle.

Suites arithmétiques

Par définition, on dit qu’un ensuite est arithmétique si on prouve l’existence d'un nombre r, qui pour tout entier naturel (n) on obtient : Un+1=Un+r

Par exemple, si on considère une suite (Un) dans laquelle la différence entre les termes est constante et qui correspond à 4.

Si le premier terme est égal à 2, on obtient les termes suivants :

U0=2

U1=6

U2=10

U3=14

On peut appeler cette suite, une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 2. On note alors :Un+1=Un+4 et U0=2

Propriétés à retenir !

  • Si r > 0 alors la suite (Un)est croissante.

  • Si r < 0 alors la suite (Un)est décroissante.

Suites géométriques

On considère qu’une suite (Un)est une suite géométrique si on démontre l’existence d’un nombre q, qui pour tout entier naturel (n) on obtient : Un+1=qx Un

Par exemple, si vous avez une suite (Un)dans laquelle le rapport entre un terme et son précédent est constant et qui égale à 3.

On considère que le premier terme est égale à 4, on obtient les termes suivants :

U0=4

U1=12

U2=36

U3=108

Donc, ici vous avez une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 4. On écrit alors Un+1=3Un et U0=4

Un=4x 3n

Propriétés à retenir !

Pour tout entier naturel n, on a :Un=U0x qUn=U0x qUn

Forme canonique et équations du second degré en Première

Pour conclure ce chapitre, le programme de maths de Première vous introduit à la fonction polynôme du second degré. Elle représente toute fonction f définie sur ℝ. Cette fonction est exprimée sous la forme suivante : f(x)=ax2+bx+c dans laquelle les coefficients a, b et c sont des réels donnés (a ≠ 0).

Pour illustrer cela, voici quelques exemples :

f(x)=5x²+2x+7est une fonction de second degré

f(x)=2x+5est une fonction de premier degré

La forme canonique polynôme et sa représentation graphique

On peut écrire la fonction polynôme du second degré sous cette forme :f(x)=a(x-)2+. On appelle cette inscription une forme canonique de f.

Il va vous être demandé de déterminer les variations de cette fonction et de la représenter graphiquement. Prenons un exemple :

Nous avons une fonction mise sous forme canonique comme ceci : g(x) = 3(x - 2)² + 4.

  • On peut déduire que g(x) ≥ 4 car 3(x - 2)² est positif.

  • g(2) = 4 donc pour tout x g(x) ≥ g(2)

  • g admet donc un minimum en 2. Ce minimum est égal à 4.

Observation :

La fonction f approuve un maximum ou un minimum pour x = -b2a.

La représentation graphique d'une fonction polynôme de second degré est une forme canonique parabole. Cette représentation possède un axe symétrique qui est la droite de l’équation x = -b2a

Le point S (-b2a, f(-b2a)) correspond au maximum ou au minimum de la fonction f.

représentation graphique de g(x)

Résoudre une équation du second degré

L’équation du second degré est exprimée sous la forme : ax² + bx + c, sachant que a,b,c sont des réels.

Δ = b² - 4ac correspond à un nombre réel appelé : discriminant du trinôme de ax² + bx + c

En regardant les propriétés, résoudre une équation du second degré offre trois possibilités :

  1. Si Δ est négatif, il n’existe aucune solution possible à l’équation

  2. Si Δ = 0, l’équation a une solution unique : x0 = -b2a

  3. Si Δ est positif, il existe alors deux solutions différentes à cette équation, à savoir : x1 = -b -Δ2a, x2 = -b +Δ2a

Exemple :

L’objectif ici est de résoudre la fonction suivante : 4x² - 2x - 5

étape 1 : calculer le discriminant Δ

  • Δ = b² - 4ac → Δ = 2² - 4 x 4 x (-5) = 76

  • Δ > 0, nous avons donc deux solutions

étape 2 : calculer x1 et x2

  • x1 = -b -Δ2a = x1 = -2 -762(4) = -2 -768

  • x2 = -b +Δ2a = x2 = -2 + 762(4)=-2 + 768

Le programme de mathématiques en Première demande beaucoup de connaissances et de précisions. Il est parfois difficile de comprendre l’ensemble de la leçon du premier coup. C’est pourquoi, nos professeurs de maths de première vous accompagnent pendant toute votre scolarité.

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