Maths

La Fonction exponentielle et Dérivation en Première

Rédigé par Ilyes B. le 09/08/2021

Dans la continuité du programme de seconde, en première vous allez concrétiser l’étude des fonctions. Les éléments principaux que vous allez voir sont donc l’étude de la dérivation, les représentations graphiques et les fonctions exponentielles et trigonométriques. C'est l'occasion pour vous d’enrichir votre raisonnement mathématique à travers divers registres telles que l’étude de variations, la détermination de limites etc.
Nos experts vous expliquent les notions à retenir avant la fin de l’année. Ils vous donnent également des exemples concrets pour assimiler tous les éléments indispensables avant de passer à la terminale.

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Sommaire

Les notions de calcul différentiel c’est développer progressivement au cours de l’histoire des mathématiques. Les premiers à avoir conceptualiser l’étude de variations sont Leibniz et Newton. Mais leur hypothèse reste floues et ne reflétait pas vraiment le fonctionnement naturel des phénomènes variables. C'est à la fin du XIXe siècle que la notion de fonction exponentielle apparaît. Celle-ci a permis alors de modéliser ces situations de croissance non linéaire, notamment parce qu’elle démontre l'équation différentielle ainsi que sa condition initiale qui est Y(0)=1.

Déterminer et calculer une dérivée d’une fonction

En maths de Première vous allez apprendre à montrer qu'une fonction est dérivable et comment trouver sa dérivée seconde. Il s’agit ici de développer la capacité de calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d'une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence.

  • Par définition, une fonction f(𝑥) a pour limite L lorsque 𝑥 tend vers 0 sachant que les valeurs de f(𝑥) peuvent être aussi proche de L pourvu que 𝑥 se rapproche de 0.

On peut noter alors :

Soit : La limite de f(𝑥) lorsque 𝑥 tend vers 0 est égale à L. Cela correspond au calcul d’une limite en 0 d’une fonction.

  • On considère une fonction dérivable en α si on prouve l’existence d’un nombre réel L comme ceci :

Lest donc considéré ici comme le nombre dérivé de f en α et on note f’(α)

La dérivation des fonctions usuelles

Admettons un nombre réel a. Puis on met en relation le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a. Donc la fonction est définie sur ℝ. On note f' dont l'expression est f'(x) = 2x. On appelle cette fonction, une fonction dérivée de f.

Pour chaque type de fonction il existe des formules de dérivation spécifiques qui correspondent à des fonctions de référence. C’est ce qu’on appelle les formules de dérivation des fonctions usuelles. Ces fonctions sont régit par une seule et unique formule qui se présente sous la forme suivante :

Il important pour vous d’apprendre cette formule, elle vous permettra de résoudre tout le reste des fonctions.

Quelques exemples de fonctions usuelles :

Le principe des fonctions de référence et les dérivées partielles sert d’introduction aux calculs de dérivées. Ce ne sont pas ces fonctions que vous allez dériver mais en général ce sont les composées de ces fonctions usuelles qui vont être dérivées.

Opérations sur les fonctions dérivées

Dans cette section vous allez devoir appréhender la composée de deux fonctions représentées avec la notation v ○ u. Votre premier objectif est d’établir la relation (v ○ u)’ = (v’ ○ u) × u’ pour la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables. Pour cela la capacité à développer sera de calculer la dérivée d’une fonction donnée par une formule simple mettant en jeu opérations algébriques et composition.

Le calcul de la dérivée composée passe soit par la formule de fonction dérivée : f'(𝑥) = u'(𝑥) x g'(u(𝑥)) , soit par les formules qui correspondent aux structures algébriques des fonctions usuelles suivantes : (a et b sont des nombres réels constants définies sur ℝ)

Étude des variations d’une fonction

Selon le théorème, une fonction f est dérivable sur un intervalle I :

  • f est décroissante sur I si f'(𝑥) ≤ 0

  • f est croissante sur I si f'(𝑥) ≥ 0

Prenons un exemple d’une fonction de second degré : f(𝑥) =2𝑥² - 4𝑥 + 2

  • étape 1 : calcul de la fonction dérivée : f'(𝑥) =2 x 2𝑥 - 4 = 4𝑥 - 4

  • étape 2 : calcul de l’équation f'(𝑥) = 0 → 4𝑥 - 4 = 0 → 4𝑥 = 4𝑥 = 1

→ On déduit que la fonction f'(𝑥) est représentée par une droite dont le coefficient 4 est positif. Donc elle est négative de [-∞; 1]et positive de [1;+∞].

  • étape 3 : en appliquant le théorème, on dessine le tableau de variation

f(1) = 2(1)² - 4(4) + 2 = 0 admet un minimum égal à 0 en 𝑥 = 1

Fonction exponentielle

L’objectif final de cette section sera de réaliser une étude complète de la fonction exponentielle. Dans un premier temps, il va vous être demandé de calculer la dérivée de la fonction f et d’établir son tableau de variations. Vous allez ensuite devoir déterminer l’équation de la tangente et le point d'abscisse 0 pour pouvoir enfin tracer une courbe représentative pour visualiser graphiquement l’évolution de la fonction étudiée.

La fonction exponentielle est l’unique fonction définie sur ℝ qui est égale à sa propre dérivée (f = f'), on la note "exp". Par la fonction exponentielle l’image de 0 est égale à 1, soit f(0) = 1.

La fonction exponentielle à la particularité d'être strictement positive, elle donc constamment croissante sur ℝ.

Courbe représentative de la fonction exponentielle "exp"

La fonction exponentielle partage les mêmes propriétés qu’avec le calcul des puissances. Ainsi cette fonction permet de définir et calculer la puissance réelle d’un nombre positif.

Voici quelques équations illustrant les propriétés de la fonction exponentielle :

Les fonctions trigonométriques

La trigonométrie est à l’origine la géométrie appliquée à l’étude physique du monde, des univers et de tous les phénomènes nécessitant des calculs d’angles. Le calcul des angles à évolué au fil de l’histoire, et c’est le mathématicien français François Viette qui a mis en place le concept trigonométrique que l’on connaît aujourd’hui.

Un cercle trigonométrique est défini dans un plan à repère (O, I, J) avec un centre O et un rayon 1. Les angles du cercle sont calculés au sens direct, appelé notamment “sens trigonométrique” qui va à l’inverse du sens des aiguilles d’une montre.

Le radian et ses correspondances avec les degrés

Le radian est l’unité de mesure d’angles internationale. Dans le cercle trigonométrique, un rayon est égale à 1 qui est associé à un tour complet du cercle, par conséquent 360° = 2. Par un calcul proportionnel, on obtient les correspondances "radians - degrés" suivantes :

L’enroulement d’une droite autour d’un cercle trigonométrique

Sur un plan muni d’un repère, on a un cercle de centre O et de rayon 1, on peut enrouler une droite verticale d’équation 𝑥 = 1 autour du cercle. L’enroulement du cercle sur la droite se fait de manière infinie, ce qui permet de garder un point de contact avec la droite (d). Pour simplifier on peut dire que c’est une mesure du cercle trigonométrique que l’on va imprimer sur la droite.

Sachant que la circonférence du cercle trigonométrique est égale à 2, chaque point donné sur le cercle réapparaît à chaque fois que l’on avance ou on recule de 2 sur la droite (d). De cela on déduit que chaque valeur sur la droite (d) correspond à une valeur d’angle en radian. L’exemple ci-dessous illustre l'enroulement du cercle :

Enroulement d’un cercle sur une droite. Source : Annabac

Cosinus et sinus d’un nombre réel et les valeurs remarquables

Il existe un autre raisonnement quant au cercle trigonométrique, c’est le raisonnement en termes de vecteurs. On appelle “sinus” (sin) le vecteur vertical, et “cosinus” (cos), le vecteur horizontal.

Le croisement des deux vecteurs sur le cercle correspond à la tangente. La formule que vous devez absolument connaître par cœur est la suivante : cos²(𝑥) + sin²(𝑥) = 1

Afin de bien maîtriser ces raisonnement, vous devez également connaître les valeurs des angles appelées “valeurs remarquables” qu’on va représenter sur le tableau suivant :

Remarque : les valeurs des vecteurs cosinus et sinus doivent toujours être comprises entre 1 et -1.

Il est important d’apprendre toutes ces propriétés pour bien assimiler les fonctions trigonométriques que vous allez voir dans la section qui suit.

Les fonctions trigonométriques

- La fonction sinus :

C’est une fonction impaire, continue et dérivable sur ℝ, sa dérivé correspond à cos (𝑥). Par définition une fonction f est impaire quand pour tout 𝑥 appartient à f(-𝑥)= - f(𝑥)

Il faut noter que le champ d’étude de la fonction sinus est réduit à [0;2], donc pour tout 𝑥 définie sur ℝ : sin(𝑥) = sin(𝑥+2)

Illustration graphique de la fonction sinus

- La fonction cosinus :

Contrairement à la fonction sinus, la fonction cosinus est une fonction paire. Donc on note f(𝑥) = f(-𝑥). Elle est également dérivable sur ℝ et sa dérivé est -sin(𝑥).

Illustration graphique de la fonction cosinus

Remarque : les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite à l’infinie.

Le programme de maths en Première vous prépare progressivement à l’épreuve du bac à partir de la seconde. Il est important de ne manquer aucune notion afin de préparer sereinement vos épreuves. Pour cela, Kelprof a tout prévu pour vous ! N’hésitez pas à contacter nos professeurs de maths de Première qui sauront vous accompagner tout au long de votre année scolaire.

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