Maths

La Géométrie en Première

Rédigé par Ilyes B. le 13/08/2021

En première, les élèves poursuivent l’étude de la géométrie en découvrant de nouvelles notions liées au calcul vectoriel et à la géométrie repérée.
La notion de vecteur apparaît suite à l’élaboration des calculs de variations par Leibniz au XIXe siècle. Combinant vision géométrique et calculs, le produit scalaire et le calcul vectoriel représentent sans doute l’approche géométrique la plus précise jamais mise au point au fil de l’histoire. En plus de cela, une autre notion vient s’ajouter à la géométrie, qui est le cercle géométrique qui remonte à Thalès. Ce n’est qu’au XVIIe siècle que Descartes met au point la méthode des coordonnées en élaborant l’équation d’un cercle en repère orthonormé.
En première vous allez approfondir ces notions afin de pouvoir traiter des problèmes grâce au point de vue orthogonal et métrique. Nos experts vous expliquent le contenu du programme de première avec des exemples clairs et concis.

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Sommaire

Calcul vectoriel et produit scalaire en maths de Première

Le programme de maths en première vous propose de découvrir pour la première fois la notion d’orthogonalité dans le chapitre “produit scalaire”. Vous allez revoir cette notion plusieurs fois au cours de votre scolarité, notamment lorsque vous abordez les techniques statistiques élaborées.

La notion de projection orthogonale

On considère deux droites comme nuls uniquement si le produit scalaire de leurs vecteurs est nul. Graphiquement, leurs directions sont orthogonales. Ainsi, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs vecteurs directeurs est nul.

Ci-dessous, prenons un vecteur CD, qu’on va projeter orthogonalement sur la droite (AB) qui sert de support au vecteur AB.

​​Soit un vecteur CD Projetons-le orthogonalement sur la droite (AB) support du vecteur AB. Le projeté est le vecteur C'D' tel que les vecteurs CC' et DD' forment des angles droits avec (AB)

Quant aux vecteurs CC' et DD' ils sont tous deux orthogonaux à AB puisque leurs directions sont perpendiculaires à celle de (AB)

Utiliser la formule du projeté

Le rapport entre le produit scalaire et la formule du projeté se démontre par une simple multiplication : AB X CD = AB X C'D' , c'est-à-dire qu’on obtient un produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.

Vous pouvez calculer un produit scalaire d’une autre façon en utilisant la formule des normes ou la formule du cosinus. On applique celle du projeté quand on a à priori un angle droit et une figure montrant un vecteur qui a les mêmes propriétés qu’une ligne verticale ou horizontale.

→ Exemple :

Supposons qu’un carreau = 1. Le but est de trouver la valeur du produit scalaire des deux vecteurs suivants :

On projette le vecteur v :

On déduit que le produit scalaire = 24

Utiliser la formule d’Al-Kashi pour calculer la valeur d’un angle

Le programme de maths en première vous fait découvrir les méthodes de mesure d’angles en radians au milieu de l’année scolaire. On rappelle ci-dessous la formule du cosinus et la formule des normes :

Pour un triangle dont on connaît uniquement les longueurs des côtés, l’égalité de ces deux formules va vous permettre de calculer le cosinus de ses angles.

Le théorème d’Al-Kashi, apparu au milieu du XVe siècle, a pour but de calculer le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de 2p avec une précision jamais atteinte. Il a fini par simplifier ces calculs sous la formule suivante :

On l’applique souvent pour calculer un angle inconnu, nous allons illustrer ça avec un exemple ci-dessous :

On considère une figure sous forme de triangle comme ceci :

Nous allons calculer maintenant la mesure de l’angle BAC :

  • On applique le théorème d’Al-Kashi :

Géométrie repérée en Première

Dans cette section, l’approche géométrique est rapportée à un repère orthonormé. Vous allez découvrir une vision qui allie calcul et géométrie. Vous allez notamment apprendre à élaborer des calculs basés sur des équations de cercle grâce à la méthode des coordonnées et des équations de cercle en repère orthonormé.

Déterminer l’équation cartésienne d’une droite

Le programme de maths de Première prévoit de vous apprendre à déterminer une équation cartésienne d’une droite et les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite.

Dans un premier temps nous allons rappeler le critère de colinéarité :

Par définition on dit que u y𝑥 et v y'𝑥' sont colinéaires seulement si 𝑥y' - y𝑥' = 0

Pour calculer le vecteur directeur d’une droite, vous allez utiliser l’équation cartésienne : a𝑥 + by + c = 0 dont le vecteur est le vecteur u (-b ; a).

→ On déduit que pour que deux équations cartésiennes a𝑥 + by + c =0 et a'𝑥 + b'y + c' =0 sont parallèle seulement si : ab' - a'b = 0

Cette équation cartésienne va ensuite être amenée à devenir une équation réduite. La seule condition ici est que b0. L’équation réduite prendra alors la forme suivante : y= -ab𝑥-cb

→ Exemple :

Dans un repère orthonormé du plan (o,i,j) , on considère la droite (d) qui passe par un point A (−3 ; 4) et dont un vecteur normal est le vecteur n (4 ; −1).

Nous allons maintenant déterminer une équation cartésienne de la droite (d) :

  • Comme le vecteur n (4 ; −1) est un vecteur normal de (d), une équation cartésienne de d est de la forme 4𝑥 - y + c = 0

  • Le point A (−3 ; 4) appartient à la droite d, donc : 4 X (-3) + c = 0 et donc : c=16.

  • On conclut donc par dire que l’équation cartésienne de (d) est : 4𝑥 - y + 16 = 0

Trouver une équation de cercle et savoir l’utiliser

Par définition un cercle de centre :

et de rayon r, son équation est :

Pour illustrer la méthode de la détermination d’une équation cartésienne d’un cercle, prenons un exemple :

Toujours dans un repère orthonormé (o,i,j) du plan, on va considérer le cercle C de centre A(5,-1) et qui passe par le point B(2;4)

  • On applique l’équation du cercle pour déterminer le rayon cercle C :

Donc l’équation cartésienne du cercle C est :

Les exercices maths première peuvent sembler compliqués à assimiler et demandent beaucoup de notions à maitriser.

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