Maths

Les Probabilités et Statistiques en Première

Rédigé par Ilyes B. le 08/09/2021

Au cours de l’histoire des mathématiques, des scientifiques comme Pascal, Bernoulli ou encore Euler ont appliqué les notions de variable aléatoire et d'espérance pour expliquer des phénomènes liés à l'astronomie et aux jeux. La formalisation actuelle est apparue vers le début des années 1930. La notion de variable aléatoire qui était jusqu’alors présentée sans définition, apparaît finalement sous une forme définie sur l’univers.
Et c’est en deuxième année de lycée que vous allez aborder toutes ces notions. A travers des cours et exercices de maths niveau Première, vous étudierez le modèle probabiliste et notamment la notion de probabilité conditionnelle. Vous découvrirez également d’autres concepts complémentaires tels que l’indépendance, la variable aléatoire. Plus de détails ci-dessous.

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Sommaire

Probabilités conditionnelles et indépendance

Les probabilités conditionnelles

A travers ce chapitre, le programme de Première en maths aborde la notion de probabilité conditionnelle. Celle-ci permet de mettre en évidence l’inversion des conditionnements. Autrement dit, elle s’ajoute à une autre probabilité calculée en amont. Lorsqu’on parle d’une probabilité conditionnelle, on emploie la formule en “sachant que”. Elle s’oppose à la probabilité indépendante puisqu’elle dépend d’un événement déjà établi et sur lequel on va s’appuyer pour la calculer.

Le conditionnement de cette probabilité est manié grâce à une formule qui implique des événements et un univers de possibilités appelé “Ω”. Lorsqu’on parle de probabilités, on parle également de lien d’antériorité ou de causalité.

Admettons la situation de deux événements A et B où l’on va supposer l’existence d’un lien de A vers B. On dira que B est une conséquence en sachant que A est une cause. Pour calculer cette probabilité, il faut utiliser un arbre pondéré. Dans le cas où l’on veut connaître la probabilité inverse, c'est à dire l'événement de B vers A (A sachant que B est établi), on utilise la formule des probabilités conditionnelles suivante :

Pour établir un arbre pondéré, il faut suivre ces quelques étapes :

  • L’addition des probabilités des branches d'un nœud est égale à 1 ;

  • Le produit des probabilités du chemin aboutissant à une extrémité d'un chemin est égal à la probabilité de cette extrémité ;

  • La somme des probabilités de chacune des extrémités est égale à la probabilité d'un événement associé à plusieurs de ces extrémités.

Exercice type de probabilité conditionnelle :

Dans un entrepôt de tri, Antoine, un assistant, filtre des colis pour les assigner au livreur avec qui il travaille. 60% des colis sont à destination de la ville A et 40% sont à destination de la ville B. Parmi les colis à destination de la ville A, 80% ne sont pas assignés au livreur. Parmi ceux de la ville B, on en compte 30%.

Soit :

  • P(E) la probabilité qu’un colis soit à destination de la ville A.

  • P(R) la probabilité que l’assistant ne l’assigne pas au livreur.

L’objectif ici est de d’abord :

  1. Définir ce que signifie P(E ∩ R)

  2. Calculer :

  3. Réaliser l'arbre pondéré

  4. Sachant que l’assistant n’a pas assigné le colis, quelle est la probabilité que ce dernier soit à destination de la ville A.

Solutions :

  1. P(E ∩ R) est la probabilité qu’un colis soit à destination de la ville A et ne soit pas assigné.

  2. PE(R) c’est la probabilité de refuser l’assignation du colis sachant que celui-ci est à destination de la ville A. Ici, il faut transformer le pourcentage donné en probabilité, ce qui nous donne 0,8.

  3. L’arbre pondéré permet de hiérarchiser les données :

  1. Maintenant, on applique la formule :

Au niveau de la branche du haut, on observe la probabilité P(E ∩ R) : P(E) x PE(R), ce qui donne : 0,6 x 0,8 = 0,48. Ici, on peut dire que la probabilité qu’un colis soit à destination de la ville A et ne soit pas assigné est de 0,48.

La probabilité qu’un colis ne soit pas assigné P(R) est inconnu. De la même façon qu’a été calculé la probabilité qu’un colis à destination de la ville A ne soit pas assigné, il est possible de calculer la probabilité qu’il soit à destination de la ville B et qui ne soit pas assigné en additionnant les deux. Si vous faites le lien avec les branches de l’arbre ci-dessus, on peut déduire que : P(R) = (0,6 × 0,8) + (0,4 × 0,3) = 0,6.

PR(E) = 0,48 / 0,6 = 0,8. La probabilité qu’un colis soit à destination de la ville A sachant qu’il n’est pas assigné au livreur est donc de 0,8.

Le concept de deux événements indépendants

Cette notion s’oppose partiellement à la probabilité conditionnelle. Il s’agit d’un concept essentiel en probabilités où un événement connu ne prouve aucun éventuel établissement d’un autre. Cette notion est très souvent présent dans les jeux comme le lancer de pièces ou de dé. En revanche, les jeux tels que le loto ne rentrent pas dans ce concept puisque chaque boule n’apparaît qu’une seule fois.

Ce qu’il faut retenir ici c’est que ce concept aborde uniquement les situations où deux événements sont indépendants. Il est définit sous la forme suivante : P(AB) = P(A) x P(B).

Il suffit de vérifier cette égalité pour prouver que deux événements sont indépendants. Cette formule se traduit de la manière suivante : que l’évènement A soit établi ou non, la probabilité B ne change pas. Autrement dit, les évènements A et B sont indépendants si vous arrivez à prouver l’égalité suivante : PB(A) = P(A).

Exemple : Soit deux événements A et B, en sachant que P(AB) = 0,15, P(A) = 0,5 et P(B) = 0,3 :

P(AB) = P(A) x P(B) P(AB) = 0,5 x 0,3 = 0,15

On dit ici que les événements A et B sont indépendants puisqu’ils prouvent cette égalité.

Variables aléatoires réelles

La loi de probabilité et les variables aléatoires réelles

Dans le programme de maths en Première, vous étudierez pour la première fois la notion de “loi de probabilité” même si vous avez sûrement aborder la modélisation d'événements aléatoires sous forme de tableau en classe de Seconde. Le concept de probabilités est un domaine très riche, ce qui vous permet d’assimiler très rapidement les notions évoquées dans ces cours de maths en Première.

Variable aléatoire

Une variable aléatoire fait l’objet d’une fonction définie sur un univers d’un événement aléatoire qui associe une réalisation à chaque issue. Une variable aléatoire est discrète lorsqu’elle contient un nombre limité de valeurs. Par définition, chaque résultat d'une expérience aléatoire s'appelle une issue. L’ensemble de ces issues constituent l’univers des possibles. On parle ensuite de sous-ensemble d’un univers, qu’on appelle “événement”. Les événements contenant une seule issue sont des événements élémentaires.

Pour mieux comprendre, prenons l’exemple d’un jeu qui consiste à lancer un dé à six faces. Celui-ci comporte un ensemble d’issues possibles, W = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, qu’on va appeler “univers des possibles”. Ici, l’événement “A” correspond aux résultats pairs. Un deuxième événement va être considéré, l’événement élémentaire “E” qui a pour résultat 3. Ce qui nous donne E = {3}.

Dans cette expérience, il vous faudra considérer les règles suivantes :

  • Si le résultat est pair, on gagne 4€ ;

  • Si le résultat est 2, on gagne 5€ ;

  • Si le résultat est 1 ou 3, on perd 3€.

On détermine alors une variable aléatoire “𝑥” sur W = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui a la possibilité de prendre les valeurs 4, 5 ou –3. On a donc :

𝑥(4)=4 𝑥(6)=4 𝑥(2)= 5 𝑥(1)=-3 𝑥(3)=-3

Loi de probabilité

Par définition et selon la loi de probabilité, une variable aléatoire 𝑥 définie sur un univers “Ω” : 𝑥 associe à toutes les valeurs de 𝑥i la probabilité P(X=𝑥i).

Revenons à notre exemple ci-dessus pour illustrer cette loi. On sait que chaque issue est égale à 1/6. De ce fait, on déduit que la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur de 4 est de 3/6, soit 1/2 .

On peut donc noter :

P(X=2)=1/2 P(X=5)=1/6 P(X=-3)=2/6 =1/3

Une fois cela fait, on rassemble les résultats dans un tableau :

Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire

L’espérance d’une variable aléatoire

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire correspond à la moyenne des valeurs qu’elle prend. Admettons les valeurs :

Elles sont mesurées par leurs probabilités :

On peut les résumer sous la formule suivante :

La variance d’une variable aléatoire

La variance constitue l'espérance des carrées des écarts par rapport à l'espérance. La formule consiste à retrancher le carré de l'espérance de l'espérance des carrées :

L’écart-type d’un variable aléatoire

L’écart-type d’une variable X correspond à la racine carrée de sa variance. Comme l'espérance, il est exprimé dans la même unité que X. L’écart-type de la loi de probabilité de X est :

Maintenant que nous avons défini chaque notion, voici un exemple pour les illustrer et les assimiler facilement. Reprenons celui du lancer de dé.

  1. Calculer l'espérance :

On a E(X) = 2 x 1/2 + 5 x 1/6 - 3 x 1/3 = 4/5

On dit qu’en moyenne la valeur de X est de 4/8.

  1. Calculer la variance :

  1. Calculer l’écart-type :

Vous l’aurez compris, le chapitre des probabilités et statistiques de maths en Première vous fait découvrir beaucoup de nouvelles notions. Il est donc tout à fait normal de rencontrer des difficultés lorsque vous réalisez un exercice sur la probabilité conditionnelle ou bien pour calculer une espérance. Pour y remédier rapidement, nos professeurs mettent à votre disposition leur expertise à travers des séances de mathématiques ludiques et animées. Chez Kelprof, vous trouverez toujours un professeur de maths niveau Première prêt à vous épauler. Que ce soit pour un suivi continu ou des révisions ponctuelles, nos professeurs s’adaptent à votre niveau et à vos besoins.

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